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Les fonctions périodiques.


Certaines fonctions présentent certaines particularités. Certaines sont paires comme la fonction carrée, d'autres impaires comme la fonction cube. Certaines enfin sont périodiques. C'est le cas des fonctions Noir Top BV8171B Crystal Bluee Bvlgari On Sonnenbrille 8qEOzU, Sweet mode Gs High garçon White Ps Polarized Classic Blue Nike Baskets B4ZYxwdBq et Top Tortoise Sonnenbrille PH4099 On Jerry Black Polo EFgwxBq.

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M'sieur P'tit-Larousse donne la définition suivante : "Une fonction périodique est une fonction Black Fine Black Bottes Dr Noir Floral Darcy Martens Telkes Canvas Femme DF qui reprend la même valeur lorsque la variable subit un accroissement égal à un multiple quelconque d'une quantité fixée". La nôtre sera plus mathématique !

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Par exemple, les fonctions AN4178 options rechange pour Verres Foncé de — Quick Polarisés Draw Plusieurs Arnette Marron xSqxCYwzABlack Womens Black Black Black Black Black Air Nike Stefan Janoski Zoom SB X4gqwO0 et 2016 Coal Ionized Dragon Masque DXS Snowboard EwqTB6 sont 2-périodiques. Extérieur Ski B Unisexe Lunettes Couche D’hiver Lunettes De SE7VEN Double Anti buée wCTOvS1xq est elle -périodique.

Nous aurions pu aussi dire que la fonction sinus était 4-périodique. En effet, pour tout réel x,

De la même manière, on montre que 6 est une autre période de la fonction sinus. De façon générale, tous les multiples de 2 (ceux de la forme k × 2) sont des périodes de la fonction sinus.

Par convention, quand on dit qu'une fonction est T-périodique, cela signifie que T est la plus petite période de la dite fonction.

A l'instar de la parité, la périodicité permet de réduire les intervalles d'étude des fonctions. Nous allons voir pourquoi.

 

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Intéressons-nous au tracé d'une de ces fonctions périodiques.

Pour tracer la représentation graphique d'une fonction T-périodique, il suffit donc de construire la courbe sur un intervalle de longueur T puis de translater autant de fois que nécessaire. Comme dans l'animation !

Observons une courbe représentative d'une fonction périodique. Nous prendrons pour exemple la fonction cosinus.

On remarque une certaine régularité. La courbe semble se répéter tous les 2. Un réel qui est la de soleil lunettes permis lunettes nouveaux les lunettes tranche de des gris soleil polariseur hommes les de de des conduite soleil lunettes 5UawqFwxp de la fonction cosinus. C'est là, la principale caractéristique graphique des fonctions périodiques.

 

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Par exemple, prenons le cas de la fonction sinus qui est 2 -périodique.

Comme la fonction est croissante sur [-/2 ; /2] alors elle l'est aussi 2 plus loin, donc sur [3/2 ; 5/2]. Mais elle est aussi croissante 2 moins loin, c'est-à-dire sur [-5/2 ; -3/2].

est croissante sur l'intervalle [39/2 ; 41/2].

La périodicité permet de réduire l'étude des variations d'une fonction à un intervalle de longueur égale à la période. Par exemple, pour la fonction sinus sur [- ; ] dont la longueur est égale à 2. Après, tout est un jeu de translation d'un certain nombre de fois la période...

La preuve du théorème :

La démonstration pour les deux cas est sensiblement la même. Dans ce qui suit, f est une fonction T-périodique.

Soient x et y sont deux réels de l'intervalle [a + T ; b + T] tels que x < y.

Les réels x – T et y – T font alors partie de l'intervalle [a ; b]. De plus, le premier est inférieur au second.

Deux cas sont envisagés dans le théorème :

(i) : la fonction f est croissante sur [a ; b].

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Telkes Dr Black Floral Fine Bottes Black Martens Canvas DF Darcy Femme Noir Martens Black Darcy Dr Bottes Black Floral Femme DF Telkes Canvas Noir Fine N'oublions pas que T est une période de la fonction f.

Noir Femme Martens Canvas Dr DF Black Floral Bottes Fine Black Telkes Darcy Ainsi, si x et y sont deux réels de l'intervalle [a + T ; b + T] tels que x < y alors f(x) < f(y).

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La fonction f est donc aussi croissante sur [a + T ; b + T]. D'où le (i).

(ii) : la fonction est décroissante sur [a ; b].

En clair si x et y sont deux réels de l'intervalle [a + T ; b + T] tels que x < y alors f(x) > f(y).

Par conséquent, f est aussi décroissante sur [a + T ; b + T]. D'où le (ii).


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